Desarrollo de la esfera por husos: trazado paso a paso

El desarrollo de la esfera por husos es el trazado de las piezas de chapa que, conformadas y soldadas, forman una esfera. La esfera no es desarrollable: a diferencia del cilindro y del cono, no se extiende sobre un plano sin deformar la chapa, y por eso todo desarrollo de ella es aproximado. La solución de taller es dividir la esfera en husos iguales (también llamados gajos), cada uno dibujado como una tira que se estrecha hacia los polos.

En este artículo trabajamos con una pieza concreta:

• una esfera completa de diámetro D, dividida por planos meridianos en n husos iguales (el ángulo de cada huso en los polos es 360° ÷ n);

• chapa fina (lámina o placa, en México y Colombia), que se conformará (prensada o martillada) huso a huso y se soldará por los bordes;

• medida conocida: el diámetro D, exterior o neutro.

Los fondos, los casquetes y las esferas desarrolladas por zonas (franjas horizontales aproximadas por troncos de cono) tienen otro trazado: vea cómo trazar un cono truncado y, para los gajos de un codo, el codo en gajos.

Por qué la esfera no es desarrollable

Imagine los n planos meridianos, que pasan por los polos y dividen la esfera en n husos. El dibujo plano de cada huso parte del eje, el meridiano central, que va de un polo al otro y mide L = π × R. En cada punto del eje, el ancho del huso es el arco del paralelo entre los dos meridianos vecinos, es decir, la circunferencia del paralelo dividida entre n:

w = π × D × sen θ ÷ n

Aquí, θ es la distancia angular del punto al polo (0° en el polo, 90° en el ecuador, 180° en el otro polo). En el ecuador, sen θ = 1, y el ancho es el máximo, π × D ÷ n.

El dibujo tiene dos virtudes: el eje y cada paralelo quedan con su longitud verdadera, y el área del huso plano es la del huso esférico, 4 × π × R² ÷ n. Y un defecto, el precio de aplanar una esfera: el borde curvo del huso plano mide un poco más que el meridiano de la esfera. En el ejemplo, el borde mide 638,95 mm frente a 628,32 mm del meridiano: 638,95 − 628,32 = 10,63 mm, o un 1,69 % más. Esa diferencia se absorbe al conformar la chapa; por eso el resultado es un desarrollo aproximado.

Figura 1: Las dos vistas de la esfera, a la misma escala. A la izquierda, la planta, con 12 meridianos cada 30° y los paralelos como círculos concéntricos; un huso está resaltado y el arco amarillo en el ecuador es el ancho w. A la derecha, la vista frontal: el contorno es el meridiano, dividido en 12 arcos de 15° (puntos 0 a 12, en amarillo), y los paralelos son las rectas horizontales.

Medidas necesarias

En el ejemplo, la esfera tiene D = 400 mm (R = 200 mm) y 12 husos. Usamos π = 3,1416.

Paso a paso del desarrollo de la esfera por husos

Paso 1 — Dibuje las dos vistas

Dibuje la vista frontal, una circunferencia de radio R, y, alineada con ella, la planta, otra circunferencia de radio R dividida en 12 sectores de 30° por 12 meridianos. En la vista frontal, el contorno es el meridiano, y los paralelos aparecen como rectas horizontales.

Paso 2 — Divida el meridiano

Divida la mitad del contorno de la vista frontal, de polo a polo, en 12 arcos de 15° y numere los puntos del 0 al 12: el 0 es el polo, el 6 es el ecuador y el 12 es el otro polo.

Paso 3 — Calcule el eje

L = π × R = 3,1416 × 200 = 628,32 mm. Dividido en 12 partes, cada división mide 628,32 ÷ 12 = 52,36 mm.

Paso 4 — Calcule el ancho en cada división

La circunferencia del ecuador es π × D = 3,1416 × 400 = 1 256,64 mm, y el ancho máximo del huso es 1 256,64 ÷ 12 = 104,72 mm. En las demás divisiones, multiplique ese ancho por sen θ; los valores están en la tabla siguiente. El ancho es cero en los polos.

Paso 5 — Trace el huso

Sobre papel o cartón, trace una recta de 628,32 mm y marque las 12 divisiones, numeradas del 0 al 12. En cada división, trace una perpendicular y marque el ancho w, la mitad a cada lado de la recta. Una los puntos con una curva suave y continua: el contorno es una tira que termina en punta en los dos polos.

Figura 2: El huso plano, a escala real en los dos sentidos. El eje discontinuo mide π × R y tiene 12 divisiones iguales (puntos 0 a 12); el ancho en cada punto, marcado a los dos lados del eje, es w = π × D × sen θ ÷ n, nulo en los polos (0 y 12) y máximo en el ecuador (punto 6). El contorno azul pasa por los 13 puntos.

Paso 6 — Recorte la plantilla y marque los 12 husos

Recorte la plantilla y úsela para marcar en la chapa los 12 husos, numerados del 1 al 12. Añada la separación en la raíz o el bisel que pida el procedimiento. Si la chapa se conforma antes del corte, marque el contorno después de conformar.

Figura 3: Los 12 husos lado a lado, a escala real, unidos por el ecuador (línea amarilla discontinua) y numerados del 1 al 12. El ancho total en el ecuador es la circunferencia, π × D; los polos de cada huso quedan separados. Así se distribuyen los 12 husos en la chapa, y es la forma que la esfera cerrada tiene que recomponer.

Paso 7 — Conforme y compruebe

Conforme cada huso hasta que tome la curvatura de la esfera y compruébelo con una plantilla curva cortada con el radio R. Como el borde del huso plano es más largo que el meridiano, la chapa tiene que conformarse, y no solo curvarse: eso es lo que hace que la esfera cierre.

Paso 8 — Monte y suelde

Una los husos por los bordes, empezando por el ecuador, y compruebe el diámetro en dos direcciones antes de soldar. El cierre en los polos exige cuidado: las 12 puntas se encuentran en un solo punto.

Tabla de medidas: esfera de 400 mm con 12 husos

Valores para D = 400 mm, 12 husos y el eje dividido cada 15°. La distancia se mide desde el polo, a lo largo del eje, y el ancho es el del huso plano en esa división.

El huso es simétrico respecto del ecuador: los puntos 7 a 12 repiten los puntos 5 a 0, en el mismo orden.

Cuántos husos usar

Cuantos más husos, más estrecho es cada uno y menor es la diferencia entre el borde del huso plano y el meridiano de la esfera. Con D = 400 mm:

Para esferas grandes o de chapa más gruesa, use más husos: la conformación resulta más fácil y la esfera sale más redonda.

Esfera de chapa: diámetro neutro

En chapa, use el diámetro neutro, es decir, el diámetro exterior menos el espesor. Con la esfera de 400 mm exteriores y chapa de 3 mm: 400 − 3 = 397 mm, o R = 198,5 mm. Entonces C = 3,1416 × 397 = 1 247,22 mm, el eje mide 623,61 mm (una división de 51,97 mm) y el ancho máximo del huso es de 103,93 mm.

Errores comunes en el desarrollo de la esfera por husos

1. Medir el ancho por la cuerda

Algunas construcciones gráficas miden la cuerda del paralelo en la planta, y no el arco. En el ecuador, la cuerda vale 2 × R × sen 15° = 103,53 mm, y el arco, 104,72 mm: 104,72 − 103,53 = 1,19 mm: la cuerda queda más corta. Con 12 husos la diferencia es pequeña, pero el arco es la longitud verdadera.

2. Dividir el eje por la altura

Las divisiones del eje son arcos iguales del meridiano (15° cada uno), y no alturas iguales en la vista frontal. Dividir por la altura pone los puntos en ángulos equivocados (el punto 1 caería a 33,6° en lugar de 15°) y el ancho de cada división sale mal.

3. Usar el diámetro exterior en chapa

El desarrollo vale para la superficie media de la chapa. Con el diámetro exterior, cada huso sale un poco ancho y largo.

4. Usar pocos husos

Con pocos husos, el borde del huso plano se pasa mucho del meridiano y la chapa tiene que deformarse más: la conformación se complica y la esfera tiende a salir con facetas.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el desarrollo de la esfera por husos?

Es el método de dividir la esfera por meridianos en husos iguales y dibujar cada uno como una tira plana cuyo ancho en cada punto del eje es la circunferencia del paralelo dividida entre el número de husos. El resultado es aproximado, porque la esfera no es desarrollable.

¿Por qué no existe un desarrollo exacto de la esfera?

Porque una esfera no se extiende sobre un plano sin estirar o romper la superficie, a diferencia del cilindro, el cono y el prisma. Cualquier dibujo plano conserva unas longitudes y distorsiona otras.

¿Cómo se calcula el ancho del huso de la esfera?

Con w = π × D × sen θ ÷ n, donde θ es la distancia angular del punto al polo. En el ecuador, w = π × D ÷ n; en el ejemplo, 104,72 mm.

¿Cuánta chapa gasta la esfera?

El área de la esfera, 4 × π × R² = 12,5664 × 40 000 = 502 656 mm², más las pérdidas de corte y la separación en la raíz. Cada huso plano tiene 502 656 ÷ 12 = 41 888 mm².

¿Cómo se evitan las puntas de los husos en los polos?

En esferas grandes, los polos suelen cerrarse con tapas en forma de casquete, en lugar de las puntas de todos los husos; los husos terminan entonces más anchos, en una latitud elegida. Esa disposición tiene otro trazado y no se trata aquí.

¿Existe otro método para desarrollar la esfera?

Sí: dividir la esfera en zonas, franjas horizontales aproximadas cada una por un tronco de cono. Los husos siguen mejor la forma de la esfera cuando son muchos, y las zonas usan el trazado del cono truncado.

Vea también

• Cómo trazar un codo en gajos en calderería: paso a paso

• Cómo trazar un cono truncado en calderería

Resumen del paso a paso

Para hacer el desarrollo de la esfera por husos:

1. dibuje las vistas frontal y superior y divida la esfera en 12 husos de 30°;

2. divida el meridiano en 12 arcos de 15°, puntos del 0 al 12;

3. calcule el eje L = π × R y la división L ÷ 12;

4. calcule el ancho en cada división, w = π × D × sen θ ÷ n;

5. trace el huso sobre el eje, con el ancho de cada división, y una los puntos con una curva suave;

6. recorte la plantilla y marque los 12 husos en la chapa;

7. conforme los husos, compruebe la curvatura y monte por los bordes.

Importante

Este artículo presenta específicamente el caso de una esfera completa dividida en husos iguales por planos meridianos, desarrollada de forma aproximada y conformada después. Cambiar cualquiera de estas condiciones cambia el desarrollo. Al cortar y conformar la chapa, use los equipos de protección individual adecuados y sujete bien la pieza.