Desenvolvimento de esfera por gomos: traçado passo a passo

O desenvolvimento de esfera por gomos é o traçado dos pedaços de chapa que, conformados e soldados, formam uma esfera. A esfera não é desenvolvível: ao contrário do cilindro e do cone, ela não se abre sobre um plano sem deformar a chapa, e por isso toda planificação dela é aproximada. A solução de oficina é dividir a esfera em gomos iguais (também chamados de fusos), cada um desenhado como uma faixa que se estreita até os polos.

Neste artigo vamos trabalhar com uma peça específica:

• uma esfera completa de diâmetro D, dividida por planos meridianos em n gomos iguais (o ângulo de cada gomo nos polos é 360° ÷ n);

• chapa fina, que será conformada (prensada ou martelada) gomo a gomo e soldada pelas bordas;

• medida conhecida: o diâmetro D, externo ou médio.

Tampos, calotas e esferas desenvolvidas em zonas (faixas horizontais aproximadas por troncos de cone) têm outro traçado: veja como traçar um cone truncado, e, para os gomos de uma curva, a curva de gomos.

Por que a esfera não é desenvolvível

Imagine os n planos meridianos, que passam pelos polos e dividem a esfera em n gomos. O desenho plano de cada gomo parte do eixo, o meridiano central, que vai de um polo ao outro e mede L = π × R. Em cada ponto do eixo, a largura do gomo é o arco do paralelo entre os dois meridianos vizinhos, isto é, a circunferência do paralelo dividida por n:

w = π × D × sen θ ÷ n

Aqui, θ é a distância angular do ponto ao polo (0° no polo, 90° no equador, 180° no outro polo). No equador, sen θ = 1, e a largura é a máxima, π × D ÷ n.

O desenho tem duas virtudes: o eixo e cada paralelo ficam com o comprimento verdadeiro, e a área do gomo plano é a do gomo esférico, 4 × π × R² ÷ n. E um defeito, que é o preço de achatar uma esfera: a borda curva do gomo plano mede um pouco mais que o meridiano da esfera. No exemplo, a borda mede 638,95 mm contra 628,32 mm do meridiano: 638,95 − 628,32 = 10,63 mm, ou 1,69 % a mais. Essa diferença é absorvida quando a chapa é conformada; por isso o resultado é um desenvolvimento aproximado.

Figura 1: As duas vistas da esfera, na mesma escala. À esquerda, a vista superior, com 12 meridianos a cada 30° e os paralelos como círculos concêntricos; um gomo está em destaque e o arco amarelo no equador é a largura w. À direita, a vista frontal: o contorno é o meridiano, dividido em 12 arcos de 15° (pontos 0 a 12, em amarelo), e os paralelos são as retas horizontais.

Medidas necessárias

No exemplo, a esfera tem D = 400 mm (R = 200 mm) e 12 gomos. Usamos π = 3,1416.

Passo a passo do desenvolvimento de esfera por gomos

Passo 1 — Desenhe as duas vistas

Desenhe a vista frontal, uma circunferência de raio R, e, alinhada com ela, a vista superior, outra circunferência de raio R dividida em 12 setores de 30° por 12 meridianos. Na vista frontal, o contorno é o meridiano, e os paralelos aparecem como retas horizontais.

Passo 2 — Divida o meridiano

Divida a metade do contorno da vista frontal, de polo a polo, em 12 arcos de 15° e numere os pontos de 0 a 12: o 0 é o polo, o 6 é o equador e o 12 é o outro polo.

Passo 3 — Calcule o eixo

L = π × R = 3,1416 × 200 = 628,32 mm. Dividido em 12 partes, cada divisão mede 628,32 ÷ 12 = 52,36 mm.

Passo 4 — Calcule a largura em cada divisão

A circunferência do equador é π × D = 3,1416 × 400 = 1 256,64 mm, e a largura máxima do gomo é 1 256,64 ÷ 12 = 104,72 mm. Nas outras divisões, multiplique essa largura por sen θ; os valores estão na tabela abaixo. A largura é zero nos polos.

Passo 5 — Trace o gomo

Sobre papel ou papelão, trace uma reta de 628,32 mm e marque as 12 divisões, numeradas de 0 a 12. Em cada divisão, trace uma perpendicular e marque a largura w, metade para cada lado da reta. Una os pontos com uma curva suave e contínua: o contorno é uma faixa que termina em ponta nos dois polos.

Figura 2: O gomo plano, em escala real nos dois sentidos. O eixo tracejado mede π × R e tem 12 divisões iguais (pontos 0 a 12); a largura em cada ponto, marcada para os dois lados do eixo, é w = π × D × sen θ ÷ n, nula nos polos (0 e 12) e máxima no equador (ponto 6). O contorno azul passa pelos 13 pontos.

Passo 6 — Recorte o gabarito e risque os 12 gomos

Recorte o gabarito e use-o para riscar na chapa os 12 gomos, numerados de 1 a 12. Acrescente a abertura de raiz ou o chanfro que o procedimento pedir. Se a chapa for conformada antes do corte, risque o contorno depois da conformação.

Figura 3: Os 12 gomos lado a lado, em escala real, unidos pelo equador (linha amarela tracejada) e numerados de 1 a 12. A largura total no equador é a circunferência, π × D; os polos de cada gomo ficam separados. É assim que os 12 gomos se distribuem na chapa, e é o formato que a esfera fechada tem de recompor.

Passo 7 — Conforme e confira

Conforme cada gomo até ele tomar a curvatura da esfera e confira com um gabarito curvo cortado com o raio R. Como a borda do gomo plano é mais longa que o meridiano, a chapa precisa ser conformada, e não apenas curvada: é isso que faz a esfera fechar.

Passo 8 — Monte e solde

Una os gomos pelas bordas, começando pelo equador, e confira o diâmetro em duas direções antes de soldar. O fechamento nos polos exige cuidado: as 12 pontas se encontram em um só ponto.

Tabela de medidas: esfera de 400 mm com 12 gomos

Valores para D = 400 mm, 12 gomos e eixo dividido a cada 15°. A distância é medida do polo, ao longo do eixo, e a largura é a do gomo plano naquela divisão.

O gomo é simétrico em relação ao equador: os pontos 7 a 12 repetem os pontos 5 a 0, na mesma ordem.

Quantos gomos usar

Quanto mais gomos, mais estreito cada um e menor a diferença entre a borda do gomo plano e o meridiano da esfera. Com D = 400 mm:

Para esferas grandes ou de chapa mais grossa, use mais gomos: a conformação fica mais fácil e a esfera sai mais redonda.

E se a peça for de chapa?

Em chapa, use o diâmetro médio, isto é, o diâmetro externo menos a espessura. Com a esfera de 400 mm externos e chapa de 3 mm: 400 − 3 = 397 mm, ou R = 198,5 mm. Então C = 3,1416 × 397 = 1 247,22 mm, o eixo mede 623,61 mm (divisão de 51,97 mm) e a largura máxima do gomo é de 103,93 mm.

Erros comuns no desenvolvimento de esfera por gomos

1. Medir a largura pela corda

Algumas construções gráficas medem a corda do paralelo na vista superior, e não o arco. No equador, a corda vale 2 × R × sen 15° = 103,53 mm, e o arco, 104,72 mm: 104,72 − 103,53 = 1,19 mm a menos. Com 12 gomos a diferença é pequena, mas o arco é o comprimento verdadeiro.

2. Dividir o eixo pela altura

As divisões do eixo são arcos iguais do meridiano (15° cada), e não alturas iguais na vista frontal. Dividir pela altura põe os pontos nos ângulos errados (o ponto 1 cairia a 33,6° em vez de 15°) e a largura de cada divisão sai errada.

3. Usar o diâmetro externo em chapa

O desenvolvimento vale para a superfície média da chapa. Com o diâmetro externo, cada gomo sai um pouco largo e comprido.

4. Usar poucos gomos

Com poucos gomos, a borda do gomo plano passa muito do meridiano e a chapa precisa se deformar mais: a conformação fica difícil e a esfera tende a sair com facetas.

Perguntas frequentes

O que é o desenvolvimento de esfera por gomos?

É o método de dividir a esfera por meridianos em gomos iguais e desenhar cada um como uma faixa plana, cuja largura em cada ponto do eixo é a circunferência do paralelo dividida pelo número de gomos. O resultado é aproximado, porque a esfera não é desenvolvível.

Por que não existe planificação exata da esfera?

Porque uma esfera não se estende sobre um plano sem esticar ou rasgar a superfície, ao contrário do cilindro, do cone e do prisma. Qualquer desenho plano mantém uns comprimentos e distorce outros.

Como calcular a largura do gomo da esfera?

Com w = π × D × sen θ ÷ n, em que θ é a distância angular do ponto ao polo. No equador, w = π × D ÷ n; no exemplo, 104,72 mm.

Quanto de chapa a esfera gasta?

A área da esfera, 4 × π × R² = 12,5664 × 40 000 = 502 656 mm², mais as perdas de corte e a abertura de raiz. Cada gomo plano tem 502 656 ÷ 12 = 41 888 mm².

Como evitar as pontas dos gomos nos polos?

Em esferas grandes, os polos costumam ser fechados por tampas em forma de calota, no lugar das pontas de todos os gomos; os gomos terminam, então, mais largos, em uma latitude escolhida. Esse arranjo tem outro traçado e não é tratado aqui.

Existe outro método para desenvolver a esfera?

Sim: dividir a esfera em zonas, faixas horizontais aproximadas cada uma por um tronco de cone. Os gomos acompanham melhor a forma da esfera quando há muitos, e as zonas usam o traçado do cone truncado.

Veja também

• Como fazer o traçado de uma curva de gomos na caldeiraria: passo a passo

• Como traçar um cone truncado na caldeiraria

Resumo do passo a passo

Para fazer o desenvolvimento da esfera por gomos:

1. desenhe as vistas frontal e superior e divida a esfera em 12 gomos de 30°;

2. divida o meridiano em 12 arcos de 15°, pontos 0 a 12;

3. calcule o eixo L = π × R e a divisão L ÷ 12;

4. calcule a largura em cada divisão, w = π × D × sen θ ÷ n;

5. trace o gomo sobre o eixo, com a largura de cada divisão, e una os pontos com uma curva suave;

6. recorte o gabarito e risque os 12 gomos na chapa;

7. conforme os gomos, confira a curvatura e monte pelas bordas.

Importante

Este artigo apresenta especificamente o caso de uma esfera completa dividida em gomos iguais por planos meridianos, desenvolvida de forma aproximada e conformada depois. Alterar qualquer uma dessas condições altera o desenvolvimento. Ao cortar e conformar a chapa, use os equipamentos de proteção individual adequados e fixe bem a peça.