Desarrollo de tronco de pirámide: trazado de tolva paso a paso

El desarrollo de tronco de pirámide es el trazado de la chapa plana que, soldada o doblada por las aristas, forma una tolva de base rectangular o cuadrada (en México y Colombia, lámina o placa en lugar de chapa). Lo que falta al calderero es la magnitud verdadera de la altura de las caras y de las aristas laterales, que no siempre aparecen en verdadera magnitud en las vistas.

En este artículo trabajamos con una pieza concreta:

• un tronco de pirámide recto de base rectangular (o cuadrada), con la base menor paralela a la mayor, centrada sobre ella y con las mismas proporciones (m ÷ A = n ÷ B);

• cuatro caras laterales, todas trapecios isósceles, desarrolladas en una sola chapa, con la costura en una arista;

• medidas conocidas: los lados de las dos bases y la altura vertical de la pieza.

Una base menor desplazada del centro (tronco oblicuo), el tronco de cono y la transición de cuadrado a redondo tienen otro trazado: vea cómo trazar un cono truncado y el trazado de cuadrado a redondo.

Qué cambia en el tronco de pirámide: las magnitudes verdaderas

Cada cara lateral es un trapecio isósceles: sus bases son un lado de la base mayor y el lado correspondiente de la base menor, y sus dos lados no paralelos son aristas laterales, todas de la misma longitud (k). Para dibujar el trapecio en la chapa faltan dos medidas: la altura de la cara y la longitud de la arista. La altura s de la cara y la arista k están inclinadas respecto de los planos de las vistas y se ven más cortas de lo que son; la altura t aparece en verdadera magnitud en el alzado, donde la cara sobre el lado B se ve de canto, pero es más seguro obtener las tres por el mismo camino. Hay que hallar la verdadera magnitud de cada una, mediante un giro (un triángulo rectángulo dibujado junto a las vistas) o por cálculo.

Llame A y B a los lados de la base mayor, m y n a los lados correspondientes de la base menor (m paralelo a A y n paralelo a B) y H a la altura vertical. Vistos desde arriba, los lados de la base menor quedan retranqueados respecto de los de la mayor en u = (A − m) ÷ 2, en el sentido de A, y v = (B − n) ÷ 2, en el sentido de B. Las tres magnitudes verdaderas salen de triángulos rectángulos:

• s = √(H² + v²): altura de las caras sobre los lados A (las de bases A y m);

• t = √(H² + u²): altura de las caras sobre los lados B (las de bases B y n);

• k = √(H² + u² + v²): arista lateral, que también vale √(s² + u²) y √(t² + v²).

Observe que la altura de la cara (s o t) no es la altura H de la pieza, y que la arista k es mayor que la que aparece en el alzado (vista frontal), donde solo se ven u y H.

Figura 1: Las dos vistas del tronco de pirámide, a la misma escala y alineadas. Arriba, la planta: la base mayor (A × B, esquinas 1 a 4), la base menor (m × n, esquinas 5 a 8), las aristas laterales en amarillo y los retranqueos u y v en verde. Abajo, el alzado, con la altura H; las verticales discontinuas unen las esquinas. En esta vista la arista aparece acortada, porque solo se ven u y H.

Medidas necesarias

En el ejemplo, la base mayor mide A = 600 mm por B = 400 mm, la menor mide m = 300 mm por n = 200 mm, y la altura es H = 350 mm. Las proporciones coinciden: 300 ÷ 600 = 200 ÷ 400 = 0,5.

Paso a paso del desarrollo de tronco de pirámide (tolva)

Paso 1 — Dibuje las vistas y numere las esquinas

Dibuje la planta (vista superior) y, alineado con ella, el alzado (vista frontal). En la planta están los dos rectángulos concéntricos, A × B y m × n; en el alzado, el trapecio de altura H. Numere las esquinas de la base mayor del 1 al 4 y las de la base menor del 5 al 8, de modo que el 5 quede sobre el 1, el 6 sobre el 2, el 7 sobre el 3 y el 8 sobre el 4. Las aristas laterales son 1–5, 2–6, 3–7 y 4–8.

Paso 2 — Calcule los retranqueos

u = (A − m) ÷ 2 = (600 − 300) ÷ 2 = 150 mm y v = (B − n) ÷ 2 = (400 − 200) ÷ 2 = 100 mm.

Paso 3 — Halle las magnitudes verdaderas

Con las medidas del ejemplo:

• s = √(350² + 100²) = √(122 500 + 10 000) = √132 500 = 364,01 mm;

• t = √(350² + 150²) = √(122 500 + 22 500) = √145 000 = 380,79 mm;

• k = √(350² + 150² + 100²) = √(122 500 + 22 500 + 10 000) = √155 000 = 393,70 mm.

Figura 2: Las magnitudes verdaderas, a escala real y a la misma escala en los tres triángulos. A la izquierda, la altura s de las caras sobre los lados A: hipotenusa del triángulo de catetos H y v. En el centro, la altura t de las caras sobre los lados B: catetos H y u. A la derecha, la arista lateral k: hipotenusa del triángulo de catetos s y u.

En el dibujo es lo mismo: cada una es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Los catetos de s son H y v; los de t, H y u; los de k, s y u. Compruebe: √(132 500 + 22 500) = √155 000, el mismo valor de k.

Paso 4 — Trace la cara sobre el lado A

Trace una recta de A = 600 mm: es la base del primer trapecio, entre los puntos 1 y 2. Desde su punto medio, levante una perpendicular de 364,01 mm (s). Al final de la perpendicular, marque la parte superior de m = 300 mm, centrada (150 mm a cada lado), con los puntos 5 y 6. Una 1 con 5 y 2 con 6: cada arista tiene que medir 393,70 mm (k). Si no mide eso, hay un error de medida o de cálculo.

Paso 5 — Añada la cara sobre el lado B

El segundo trapecio (puntos 2, 3, 7 y 6) comparte con el primero la arista 2–6. Para colocarlo sin transportador, use la diagonal del trapecio, q = √(t² + ((B + n) ÷ 2)²) = √(145 000 + 90 000) = √235 000 = 484,77 mm. El punto 3 queda a B = 400 mm del punto 2 y a 484,77 mm del punto 6; el punto 7 queda a n = 200 mm del punto 6 y a 484,77 mm del punto 2. Marque los dos con arcos, del lado opuesto al del primer trapecio.

Paso 6 — Complete las cuatro caras

El tercer trapecio (3, 4, 8 y 7) repite el primero, apoyado en la arista 3–7, con la diagonal p = √(s² + ((A + m) ÷ 2)²) = √(132 500 + 202 500) = √335 000 = 578,79 mm: el punto 4 queda a A = 600 mm del punto 3 y a 578,79 mm del punto 7, y el punto 8 queda a m = 300 mm del punto 7 y a 578,79 mm del punto 3. El cuarto trapecio (4, 1, 5 y 8) repite el segundo, apoyado en la arista 4–8, y termina en la arista libre 1–5, que en el montaje se une a la arista 1–5 del primero: la costura queda ahí.

Figura 3: El desarrollo del ejemplo, a escala real en los dos sentidos y girado para que quepa mejor. Los cuatro trapecios (A, B, A, B) están en cadena: las bases quedan en el borde exterior (esquinas 1 a 4 y 1 de nuevo), las partes superiores en el interior (5 a 8 y 5 de nuevo), y las aristas de unión son las líneas de doblez, discontinuas. Las dos aristas libres 1–5 (en blanco) se unen en la costura. Están marcadas las bases y la altura de la cara sobre el lado A (A, m y s), las de la cara sobre el lado B (B, n y t) y la arista k.

Paso 7 — Compruebe, añada la costura y corte

Las aristas de unión (2–6, 3–7 y 4–8) y las dos libres (1–5) miden k = 393,70 mm, las bases miden 600, 400, 600 y 400 mm y el área del dibujo coincide con la de la tabla siguiente. Añada a la arista libre el material de la costura que pida el tipo de junta, deje las aristas de unión como líneas de doblez (o de soldadura) y corte. También se pueden cortar las cuatro caras por separado (A, m y s, o B, n y t) y soldarlas por las aristas; en ese caso no hace falta la cadena de los pasos 5 y 6.

Tabla de medidas del desarrollo de tronco de pirámide: 600 × 400 mm

Valores para A = 600 mm, B = 400 mm, m = 300 mm, n = 200 mm y H = 350 mm. Las dos aristas inclinadas de cada trapecio miden k = 393,70 mm. El área de cada cara es (base mayor + base menor) ÷ 2 × altura.

La superficie lateral total suma 2 × 163 802,47 + 2 × 114 236,60 = 556 078,14 mm², o unos 0,56 m² de chapa, sin contar la costura ni las pérdidas de corte.

Comprobación desde el vértice (trazado radial)

Como las bases son semejantes, las aristas se encuentran en un vértice, el de la pirámide completa. Su arista es E = k ÷ (1 − m ÷ A) = 393,70 ÷ 0,5 = 787,40 mm. En el vértice, las caras sobre los lados A abren un ángulo α, con sen(α ÷ 2) = 300 ÷ 787,40 = 0,3810, es decir, α = 44,79°; las caras sobre los lados B abren un ángulo β, con sen(β ÷ 2) = 200 ÷ 787,40 = 0,2540, es decir, β = 29,43°. Los cuatro ángulos suman 2 × (44,79 + 29,43) = 148,44°, bastante menos de 360°: el dibujo se abre como un abanico.

Si la pirámide completa cabe en la chapa, el abanico traza la pieza directamente: con un compás de varas (o una vara con una punta fija y otra de trazar), dibuje un arco de radio E = 787,40 mm, marque en él las cuerdas A, B, A y B (600, 400, 600 y 400 mm), una los puntos con el centro y marque las esquinas de la base menor con un arco de radio E − k = 787,40 − 393,70 = 393,70 mm. Si el vértice queda demasiado lejos, use los trapecios.

Chapa fina doblada o chapa gruesa soldada

El desarrollo anterior es geométrico y no considera el espesor. Use la misma referencia en todas las medidas (todas exteriores, todas interiores o todas por la fibra neutra) y ajuste en el montaje el radio de doblez, en chapa fina doblada, o el bisel y la holgura, en chapa gruesa soldada.

Errores comunes en el desarrollo de tronco de pirámide

1. Usar la altura H como altura de la cara

Con H = 350 mm en lugar de s, la cara sobre el lado A queda 14,01 mm más baja (364,01 − 350 = 14,01 mm). Con t, la diferencia es de 30,79 mm.

2. Tomar la arista del alzado

El alzado muestra solo u y H, y la arista aparece con √(122 500 + 22 500) = 380,79 mm. La verdadera mide 393,70 mm: 393,70 − 380,79 = 12,91 mm más.

3. Cambiar s por t

La cara de bases A y m usa el retranqueo v, que es el del otro sentido; la de bases B y n usa u. Con u ≠ v, cambiar las dos alarga una cara y acorta la otra.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un tronco de pirámide y cómo se hace su desarrollo?

Es lo que queda de una pirámide cuando se corta la punta con un plano paralelo a la base. Sus caras laterales son trapecios, y desarrollarlas es trazar el tronco: calcule la altura de las caras y la arista lateral, dibuje los trapecios y únalos por las aristas.

¿Cómo se calcula la altura de la cara de una tolva y la arista lateral?

Con s = √(H² + v²) en las caras sobre los lados A, t = √(H² + u²) en las caras sobre los lados B y k = √(H² + u² + v²) en la arista lateral, donde u y v son los retranqueos de la base menor. En el ejemplo, s = 364,01 mm, t = 380,79 mm y k = 393,70 mm; las cuatro aristas laterales son iguales.

¿Cuánta chapa se necesita para una tolva?

El área lateral es la suma de las cuatro caras: (A + m) × s + (B + n) × t, que da 556 078,14 mm² en el ejemplo, unos 0,56 m². Añada la costura y las pérdidas de corte.

¿Y si la base es cuadrada?

Es el caso más sencillo: con A = B y m = n, los retranqueos son iguales (u = v), las cuatro caras son iguales y s = t. Con A = B = 400 mm, m = n = 200 mm y H = 300 mm, u = v = 100 mm, s = t = √(90 000 + 10 000) = √100 000 = 316,23 mm y k = √(100 000 + 10 000) = √110 000 = 331,66 mm.

¿Y si la base menor no tiene las mismas proporciones que la mayor?

Si m ÷ A es distinto de n ÷ B, las aristas laterales no se encuentran en un vértice, y la pieza deja de ser un tronco de pirámide. Si la base menor sigue siendo paralela y centrada, las cuatro caras siguen siendo trapecios isósceles y las fórmulas de s, t y k valen igual; solo no existe el vértice para hacer esa comprobación.

Vea también

• Cómo trazar un cono truncado en calderería

• Cómo hacer el trazado de cuadrado a redondo en calderería: paso a paso completo

Resumen del paso a paso

Para hacer el desarrollo de un tronco de pirámide rectangular:

1. dibuje la planta y el alzado y numere las esquinas del 1 al 8;

2. calcule los retranqueos u = (A − m) ÷ 2 y v = (B − n) ÷ 2;

3. halle las magnitudes verdaderas: s = √(H² + v²), t = √(H² + u²) y k = √(H² + u² + v²);

4. trace el trapecio sobre el lado A (bases A y m, altura s) y compruebe las aristas (k);

5. añada el trapecio sobre el lado B (bases B y n, altura t), colocado con la diagonal q;

6. complete las cuatro caras en cadena y deje la costura en la arista libre 1–5;

7. compruebe las medidas y el área, añada el material de la costura, marque los dobleces y corte.

Importante

Este artículo presenta específicamente el caso de un tronco de pirámide recto, de base rectangular o cuadrada, con la base menor paralela, centrada y con las mismas proporciones que la mayor. Cambiar cualquiera de estas condiciones cambia el desarrollo. Al cortar la chapa, use los equipos de protección individual adecuados y sujete bien la pieza.