Desenvolvimento de tronco de pirâmide: traçado da tremonha

O desenvolvimento de tronco de pirâmide, também chamado de planificação, é o traçado da chapa plana que, soldada ou dobrada nas arestas, forma uma tremonha (funil) de base retangular ou quadrada. O que falta ao caldeireiro é o tamanho verdadeiro da altura das faces e das arestas laterais, que nem sempre aparecem em verdadeira grandeza nas vistas.

Neste artigo vamos trabalhar com uma peça específica:

• um tronco de pirâmide reto de base retangular (ou quadrada), com a base menor paralela à maior, centrada sobre ela e com as mesmas proporções (m ÷ A = n ÷ B);

• quatro faces laterais, todas trapézios isósceles, desenvolvidas em uma só chapa, com a emenda em uma aresta;

• medidas conhecidas: os lados das duas bases e a altura vertical da peça.

Uma boca deslocada do centro (tronco oblíquo), o tronco de cone e a transição de quadrado para redondo têm outro traçado: veja como traçar um cone truncado e o traçado de quadrado para redondo.

O que muda no tronco de pirâmide: as verdadeiras grandezas

Cada face lateral é um trapézio isósceles: as bases do trapézio são um lado da base maior e o lado correspondente da base menor, e os dois lados inclinados são arestas laterais, todas com o mesmo comprimento (k). Para desenhar o trapézio na chapa, faltam duas medidas: a altura da face e o comprimento da aresta. A altura s da face e a aresta k são inclinadas em relação aos planos das vistas e aparecem mais curtas do que são; a altura t aparece em verdadeira grandeza na vista frontal, onde a face sobre o lado B é vista de perfil, mas é mais seguro obter as três pelo mesmo caminho. É preciso achar a verdadeira grandeza de cada uma, por rebatimento (um triângulo retângulo desenhado ao lado das vistas) ou pelo cálculo.

Chame de A e B os lados da base maior, de m e n os lados correspondentes da base menor (m paralelo a A e n paralelo a B) e de H a altura vertical. Vistos de cima, os lados da base menor ficam recuados em relação aos da maior por u = (A − m) ÷ 2, no sentido de A, e v = (B − n) ÷ 2, no sentido de B. As três verdadeiras grandezas saem de triângulos retângulos:

• s = √(H² + v²): altura das faces sobre os lados A (as de bases A e m);

• t = √(H² + u²): altura das faces sobre os lados B (as de bases B e n);

• k = √(H² + u² + v²): aresta lateral, que também vale √(s² + u²) e √(t² + v²).

Repare que a altura da face (s ou t) não é a altura H da peça, e que a aresta k é maior do que a que aparece na vista frontal, onde só se enxergam u e H.

Figura 1: As duas vistas do tronco de pirâmide, na mesma escala e alinhadas. Em cima, a vista superior: a base maior (A × B, cantos 1 a 4), a base menor (m × n, cantos 5 a 8), as arestas laterais em amarelo e os recuos u e v em verde. Embaixo, a vista frontal, com a altura H; as verticais tracejadas ligam os cantos. Nesta vista a aresta aparece encurtada, pois só se enxergam u e H.

Medidas necessárias

No exemplo, a base maior mede A = 600 mm por B = 400 mm, a menor mede m = 300 mm por n = 200 mm, e a altura é H = 350 mm. As proporções batem: 300 ÷ 600 = 200 ÷ 400 = 0,5.

Passo a passo do desenvolvimento de tronco de pirâmide (tremonha)

Passo 1 — Desenhe as vistas e numere os cantos

Desenhe a vista superior (planta) e, alinhada com ela, a vista frontal (elevação). Na superior ficam os dois retângulos concêntricos, A × B e m × n; na frontal, o trapézio de altura H. Numere os cantos da base maior de 1 a 4 e os da base menor de 5 a 8, de modo que o 5 fique sobre o 1, o 6 sobre o 2, o 7 sobre o 3 e o 8 sobre o 4. As arestas laterais são 1–5, 2–6, 3–7 e 4–8.

Passo 2 — Calcule os recuos

u = (A − m) ÷ 2 = (600 − 300) ÷ 2 = 150 mm e v = (B − n) ÷ 2 = (400 − 200) ÷ 2 = 100 mm.

Passo 3 — Ache as verdadeiras grandezas

Com as medidas do exemplo:

• s = √(350² + 100²) = √(122 500 + 10 000) = √132 500 = 364,01 mm;

• t = √(350² + 150²) = √(122 500 + 22 500) = √145 000 = 380,79 mm;

• k = √(350² + 150² + 100²) = √(122 500 + 22 500 + 10 000) = √155 000 = 393,70 mm.

Figura 2: As verdadeiras grandezas, em escala real e na mesma escala nos três triângulos. À esquerda, a altura s das faces sobre os lados A: hipotenusa do triângulo de catetos H e v. No meio, a altura t das faces sobre os lados B: catetos H e u. À direita, a aresta lateral k: hipotenusa do triângulo de catetos s e u.

No desenho é a mesma coisa: cada uma é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Os catetos de s são H e v; os de t, H e u; os de k, s e u. Confira: √(132 500 + 22 500) = √155 000, o mesmo valor de k.

Passo 4 — Trace a face sobre o lado A

Trace uma reta de A = 600 mm: é a base do primeiro trapézio, entre os pontos 1 e 2. Do ponto médio dela, levante uma perpendicular de 364,01 mm (s). No fim da perpendicular, marque o topo de m = 300 mm, centrado (150 mm para cada lado), com os pontos 5 e 6. Una 1 a 5 e 2 a 6: cada aresta tem de medir 393,70 mm (k). Se não medir, há erro de medida ou de conta.

Passo 5 — Acrescente a face sobre o lado B

O segundo trapézio (pontos 2, 3, 7 e 6) divide com o primeiro a aresta 2–6. Para posicioná-lo sem transferidor, use a diagonal do trapézio, q = √(t² + ((B + n) ÷ 2)²) = √(145 000 + 90 000) = √235 000 = 484,77 mm. O ponto 3 fica a B = 400 mm do ponto 2 e a 484,77 mm do ponto 6; o ponto 7 fica a n = 200 mm do ponto 6 e a 484,77 mm do ponto 2. Marque os dois com arcos, do lado oposto ao do primeiro trapézio.

Passo 6 — Complete as quatro faces

O terceiro trapézio (3, 4, 8 e 7) repete o primeiro, apoiado na aresta 3–7, com a diagonal p = √(s² + ((A + m) ÷ 2)²) = √(132 500 + 202 500) = √335 000 = 578,79 mm: o ponto 4 fica a A = 600 mm do ponto 3 e a 578,79 mm do ponto 7, e o ponto 8 fica a m = 300 mm do ponto 7 e a 578,79 mm do ponto 3. O quarto trapézio (4, 1, 5 e 8) repete o segundo, apoiado na aresta 4–8, e termina na aresta livre 1–5, que se junta, na montagem, à aresta 1–5 do primeiro: a emenda fica nela.

Figura 3: O desenvolvimento do exemplo, em escala real nos dois sentidos e girado para caber melhor. Os quatro trapézios (A, B, A, B) estão em cadeia: as bases ficam na borda externa (cantos 1 a 4 e 1 de novo), os topos na interna (5 a 8 e 5 de novo), e as arestas de ligação são as linhas de dobra, tracejadas. As duas arestas livres 1–5 (em branco) se juntam na emenda. Estão marcadas a base e a altura da face sobre o lado A (A, m e s), a da face sobre o lado B (B, n e t) e a aresta k.

Passo 7 — Confira, acrescente a emenda e corte

As arestas de ligação (2–6, 3–7 e 4–8) e as duas livres (1–5) medem k = 393,70 mm, as bases medem 600, 400, 600 e 400 mm e a área do desenho bate com a da tabela abaixo. Acrescente à aresta livre o material da emenda que o tipo de junta pedir, deixe as arestas de ligação como linhas de dobra (ou de solda) e corte. Também é possível cortar as quatro faces separadas (A, m e s, ou B, n e t) e soldá-las nas arestas; nesse caso a cadeia dos passos 5 e 6 não é necessária.

Tabela de medidas do desenvolvimento de tronco de pirâmide: 600 × 400 mm

Valores para A = 600 mm, B = 400 mm, m = 300 mm, n = 200 mm e H = 350 mm. As duas arestas inclinadas de cada trapézio medem k = 393,70 mm. A área de cada face é (base maior + base menor) ÷ 2 × altura.

A superfície lateral total soma 2 × 163 802,47 + 2 × 114 236,60 = 556 078,14 mm², ou cerca de 0,56 m² de chapa, sem contar a emenda nem as perdas de corte.

Conferência pelo vértice (desenvolvimento em leque)

Como as bases são semelhantes, as arestas se encontram em um vértice, o da pirâmide completa. A aresta dela é E = k ÷ (1 − m ÷ A) = 393,70 ÷ 0,5 = 787,40 mm. No vértice, as faces sobre os lados A abrem um ângulo α, com sen(α ÷ 2) = 300 ÷ 787,40 = 0,3810, ou seja, α = 44,79°; as faces sobre os lados B abrem um ângulo β, com sen(β ÷ 2) = 200 ÷ 787,40 = 0,2540, ou seja, β = 29,43°. Os quatro ângulos somam 2 × (44,79 + 29,43) = 148,44°, bem menos que 360°: o desenho se abre como um leque.

Se a pirâmide completa couber na bancada, o leque traça a peça direto: com uma vara de ponta fixa e ponta de riscar (ou um compasso de haste telescópica), desenhe um arco de raio E = 787,40 mm, marque nele as cordas A, B, A e B (600, 400, 600 e 400 mm), ligue os pontos ao centro e marque os cantos da base menor com um arco de raio E − k = 787,40 − 393,70 = 393,70 mm. Se o vértice ficar longe demais, use os trapézios.

Chapa fina dobrada ou chapa grossa soldada

O desenvolvimento acima é geométrico e não considera a espessura. Use a mesma referência em todas as medidas (todas externas, todas internas ou todas pela linha neutra) e ajuste na montagem o raio de dobra, em chapa fina dobrada, ou o chanfro e a folga, em chapa grossa soldada.

Erros comuns no desenvolvimento de tronco de pirâmide

1. Usar a altura H como altura da face

Com H = 350 mm no lugar de s, a face sobre o lado A sai 14,01 mm mais baixa (364,01 − 350 = 14,01 mm). Com t, a diferença é de 30,79 mm.

2. Tirar a aresta da vista frontal

A vista frontal mostra só u e H, e a aresta aparece com √(122 500 + 22 500) = 380,79 mm. A verdadeira mede 393,70 mm: 393,70 − 380,79 = 12,91 mm a mais.

3. Trocar s e t

A face de bases A e m usa o recuo v, que é o do outro sentido; a de bases B e n usa u. Com u ≠ v, trocar as duas alonga uma face e encurta a outra.

Perguntas frequentes

O que é um tronco de pirâmide e como se faz o desenvolvimento dele?

É o que sobra de uma pirâmide quando se corta a ponta por um plano paralelo à base. Suas faces laterais são trapézios, e o desenvolvimento delas é a planificação do tronco: calcule a altura das faces e a aresta lateral, desenhe os trapézios e encoste-os pelas arestas.

Como calcular a altura da face de uma tremonha e a aresta lateral?

Com s = √(H² + v²) nas faces sobre os lados A, t = √(H² + u²) nas faces sobre os lados B e k = √(H² + u² + v²) na aresta lateral, em que u e v são os recuos da base menor. No exemplo, s = 364,01 mm, t = 380,79 mm e k = 393,70 mm; as quatro arestas laterais são iguais.

Quanto de chapa é preciso para uma tremonha?

A área lateral é a soma das quatro faces: (A + m) × s + (B + n) × t, que dá 556 078,14 mm² no exemplo, cerca de 0,56 m². Acrescente a emenda e as perdas de corte.

E se a base for quadrada?

É o caso mais simples: com A = B e m = n, os recuos são iguais (u = v), as quatro faces são iguais e s = t. Com A = B = 400 mm, m = n = 200 mm e H = 300 mm, u = v = 100 mm, s = t = √(90 000 + 10 000) = √100 000 = 316,23 mm e k = √(100 000 + 10 000) = √110 000 = 331,66 mm.

E se a base menor não tiver as mesmas proporções da maior?

Se m ÷ A for diferente de n ÷ B, as arestas laterais não se encontram em um vértice, e a peça deixa de ser um tronco de pirâmide. Se a base menor continuar paralela e centrada, as quatro faces seguem sendo trapézios isósceles e as fórmulas de s, t e k valem do mesmo jeito; só não existe o vértice para fazer essa conferência.

Veja também

• Como traçar um cone truncado na caldeiraria

• Como fazer o traçado de quadrado para redondo na caldeiraria: passo a passo completo

Resumo do passo a passo

Para fazer o desenvolvimento de um tronco de pirâmide retangular:

1. desenhe as vistas superior e frontal e numere os cantos de 1 a 8;

2. calcule os recuos u = (A − m) ÷ 2 e v = (B − n) ÷ 2;

3. ache as verdadeiras grandezas: s = √(H² + v²), t = √(H² + u²) e k = √(H² + u² + v²);

4. trace o trapézio sobre o lado A (bases A e m, altura s) e confira as arestas (k);

5. acrescente o trapézio sobre o lado B (bases B e n, altura t), posicionado com a diagonal q;

6. complete as quatro faces em cadeia e deixe a emenda na aresta livre 1–5;

7. confira as medidas e a área, acrescente a emenda, marque as dobras e corte.

Importante

Este artigo apresenta especificamente o caso de um tronco de pirâmide reto, de base retangular ou quadrada, com a base menor paralela, centrada e com as mesmas proporções da maior. Alterar qualquer uma dessas condições altera o desenvolvimento. Ao cortar a chapa, use os equipamentos de proteção individual adequados e fixe bem a peça.